数学竞赛错失“猜”出来的答案

　　初中二年级的时候，参加区里的数学竞赛，在竞赛中一路势如破竹，凯歌高奏，很快就完成了其他所有的难题，只剩下最后一道难题了。我现在还记忆犹新，那次区里数学竞赛的最后一道题是不定方程或者叫丢番图方程。

　　从初中开始，我们就开始学习最简单的一元一次方程，一个方程，一个未知数；后面陆续学了二元一次方程组，三元一次方程组。中学正规的教学内容给出的题目都是方程的个数和未知数的个数相同，这一要求，要等到上了大学，学习了高等数学中线性代数里的矩阵理论，特别是矩阵的秩以及线性独立，线性相关等条件才恍然大悟，明白背后的原理。

　　未知数所代表的是人们感兴趣的一些变量，每个方程代表了一个给定的关系。所以，一般的线性方程组的可解性要求是给定关系的数量要和未知数的数量相同。当所掌握的信息不完善，也就是，关系的数量少于未知数的数量时，这种特殊类型的方程（组）就被称之为不定方程或者丢番图方程。丢番图是公元3世纪希腊亚历山大城的数学家，他曾对这些方程进行研究，并且是第一个将符号引入代数的数学家。

　　因为方程的个数少于未知数的个数，必须另辟蹊径来完成方程式的求解，绝大多数的问题都是要找到整数解或者有理数解，数字性质的分析和逻辑推理在整个解题的过程中扮演着至关重要的角色，特别是整除和分解因子等。

　　中国小学生们非常熟悉的鸡兔同笼问题就是一个家喻户晓的不定方程问题。解题的方式就是实验性的遍历法，和电影中紧张刺激的开保险柜的场景是一样的，要不停地去试和“猜”。

　　当时的最后一道竞赛题就是一个普普通通的不定方程，而且，我当时看着题目，已经猜出来题目所要求的整数解，但是，作为一个初中二年级的学生，我幼稚地认为，“猜”出来的答案不能算“正式”的解答，所以，我就绞尽脑汁，想了各种方法想要“中规中矩”地把这道不定方程的题目解出来，但是，没能成功，到交卷的铃声响起，我还是无法完成，心中无限懊恼。而且，我也没有把自己“猜”出来的答案写在考卷上，带着遗憾的心情悻悻地离开了竞赛的考场。

　　过了不久，竞赛成绩出来了，获得了区里第二名，在发奖仪式上，我见到了那位也同样是“猜”出了不定方程的正确答案，并把答案写在考卷上的优胜女生。通过这个特殊的经历，“猜”出数学问题的答案就永远地铭刻在我的心里，同时，在那次初中数学竞赛之后，因为好奇，想要知道怎样才能解出不定方程，也开启了我的数学探索之旅。

　　下面是一道简单的不定方程题目，大家可以试一下：

　　经过不断的学习，我才知道，原来“猜”就是数学中的一种重要方法，在课堂中循规蹈矩所学习的演绎推理，都是象牙塔里被无限美化的游戏，当我们踏出“阳春白雪”的课堂，走进真实复杂残酷的现实世界，面对的是数不胜数的信息不对称性的挑战，整个人生就是在不断地解决一个又一个不定方程，充满了不确定性。

　　“猜”出博士论文的无限维偏微分方程组的循环解

　　在中国我学习的是纯数学，因为，我觉得纯数学是最美的。一个脑筋急转弯的问题就是：“请问，什么样的圆最圆”，答案就是人头脑想象中的圆最圆！因为，一旦把圆真实地画出来，那种抽象的美好就被破坏掉了。

　　后来，出国留学，进入了库朗数学研究所攻读应用数学博士。在世界级顶尖高手如云的库朗数学研究所的几年，我不光学习了数学知识，也学习了新的哲学思想。对于数学和知识的看法发生了巨大的改变：一种知识是有用的，必须经过实际应用的检验，而不是在课堂里的自我陶醉。

　　众所周之，数学是众多科学中最严谨的一个分支，因为数学是建立在公理化的基础之上，尽管在整个数学的发展过程中，遭遇了数次危机，但是，人类的智慧在每一次数学危机中被激发，创造出新的理论和方法，愈挫愈强，基础更加坚实牢固。

　　读数学博士的终极目标就是要完成博士论文，在数学上写一篇博士毕业论文就是要研究一个全世界都没有人碰过的问题，你是第一个来回答的。当面对这样的未知问题的时候，过去，在课堂上的众多学习方法，演绎，归纳，推理都无济于事，也不可能有人会告诉你怎样去解决面临的难题。在这个场景下，唯一能够帮助你砥砺向前的就是“猜”，要“猜”出正确答案，再来运用传统的方法来加以证明。由此可见，整个完成论文的过程，“猜”的一步是最重要的，从0到1的飞跃！要想“猜”的正确，就需要两样东西：灵感和运气。

　　我在库朗数学研究所的导师是南非人Percy Deift教授，他为人严谨低调，一丝不苟，超级耐心的计算功力让我叹为观止，钦佩不已，我们研究的是非线性偏微分方程中最神奇特殊的一部分：可积性微分系统，99％的微分方程是解不出来的，只能依靠计算数学中的数值逼近来了解微分方程解的性质。但是这一类凤毛麟角的可积性偏微分方程竟然能够写出求解公式，这不得不算是上帝给人类的一个大礼包。但是，不要高兴的太早，统治世界的量子力学第一基本原则：能量守恒定律表明，人类得到了一些，就必定要失去一些；对于可积性微分系统，尽管偏微分方程的解能够写出来，但是，求解公式中都是一些特殊函数，人们还是不得要领，必须依靠渐近分析和扰动理论来揭开最后的谜团发现那些“永恒存在”的非线性特征解。

　　一个著名的可积性微分系统就是日本统计物理学家Toda户田盛和在1967年发现的Toda Lattice户田晶格，是固态物理学中一维晶体的简单模型。它是由一系列具有最邻近相互作用的粒子链给出的，描述了哈密顿量

　　在全人类屈指可数的几个可积性微分系统的光荣榜上，Toda Lattice占有非常重要的地位，通过研究Toda Lattice，让人们进一步深入了解了非线性波的传播过程。户田晶格的微分方程的解可以被完全写出来，是一组Soliton“孤立子”波！这又不得不称为上帝赋予人类的另一个神奇的礼物，是只有在非线性的世界中才显现的奇特现象。

　　苏格兰科学家、造船工程师约翰·史考特·罗素（1808–1882）于1834年8月在英国格拉斯哥运河旁骑马时在人类历史上首次发现了自然界中的孤波——水面上滚动的水柱以每小时8-9英里的速度向前滚动，持续超过一英里。10年后，他在英国科学促进协会第14届会议上，发表论文《论水波》也称为罗素水波。后来，人们在其他几个重要的科学领域都发现了神奇的 “孤立子” 波！

　　在准备博士论文的选题时，Deift教授给了我两个题目，我忘记了第二个题目是什么，只记得第一篇是几个日本的物理学家在户田晶格的原有基础上做出改进，在中间的晶格加了一个分叉，称之为分叉的户田晶格 Branched Toda Lattice。他们做了一些计算机数值模拟，得到了一些有趣的非线性的性质。我的研究课题很简单粗暴，就是要找到这个从负无穷到正无穷无限延申的分叉晶格上，非线性微分方程组的解。

　　拿到论文题目，我就开始着手深入研究，用Matlab做了大量的微分方程数值解的实验，这个过程就是自然科学研究中著名的Controlled Experiment，控制实验，不断地从各个角度去尝试，看看能够得到什么样的结果。

　　当时的计算机的运算能力非常有限，因为分叉的户田晶格是个无穷维的非线性微分方程组，可以想见，运算量是多么巨大。每天晚上，我都伴随着不断发出声响的计算机硬盘（在做复杂艰苦的运算）的“小夜曲”催眠进入梦乡，第二天早上起来，检查分析新的计算机数值模拟结果。

　　就这样，很快的，一年就过去了，Deift教授开始不断地催促我要加快研究的节奏，我也是心急如焚，希望能够尽快有“质”的突破。

　　一个周末，我太太要去公司加班，我也和她一起坐从新泽西到纽约的PATH火车到了曼哈顿，她去中城的美国投行上班，我独自一人回到库朗数学研究所的办公室继续研究分叉的户田晶格。午饭的时间到了，我在离办公室不远处的一家中餐馆定了午餐，看看时间差不多了，我就从被称为“纽约大学大门”的华盛顿广场走过去，去取午餐。那天的天气非常好，春光明媚，整个华盛顿广场，行人、纽约大学的学生、游客络绎不绝,热闹非凡。在广场的中心就是每年纽约大学毕业典礼的主席台所在地，一个巨大无比的有喷泉的水池，人们悠闲地坐在水池边戏水交谈，晒太阳，无比惬意。

　　我很快地取到了午饭，提着香喷喷的午饭往回走，当我再次经过那个人声嘈杂的喷泉水池时，一个前所未有的灵感突然出现在我的脑海里，在那一刻我“猜”出来了这个无比复杂的无穷维非线性微分方程组的解，我想这样试一下应该是正确的！一切都来的是那么突然和毫无准备，这大概就是灵感能够产生的场景，经过无数次的苦思冥想，都无功而返，但是，在大脑中这些零零星星想法的种子都被保留下来，它们都在默默地等待最适合的那一刻，破土而出，大放光彩。

　　灵感，英文是Inspiration，在希腊语中指的是“神的灵气” ，根据网上词典的解释，灵感是一种罕见的在文艺、科技活动中瞬间产生的富有创造性的突发思维状态，是学习过程中的巅峰状态。

　　学习的目的不是为了好分数，为了好工作，为了考试，而是为了创造。创造就要有灵感，人的思维模式的最高境界就是灵感和悟性。而灵感和悟性和“猜”是紧密相连的。

　　我给各大商学院授课时，喜欢问企业CEO学员们一个问题：

　　人的心理年龄 – 人的生理年龄 = ？

　　答案是：悟性；人的心理年龄代表人所能理解的，而人的生理年龄代表人所实际所经历的一切，悟性就是人不需要实际经历而在认知的层面能够理解通晓的，但那一部分不是科学，只有自己能够很“模糊懵懂”的感觉到，无法用清晰的语言来向他人描述，做科学的说明和解释。

　　在我“猜”出了微分方程组的解之后，剩下来的工作就是经过严格的数学推导和计算证明这个“猜”出来的答案是正确的。接下来的一个星期里，我足不出户，天天就是不停地写，把200多页的论文计算一鼓作气地完成了。现在回想起来，还是不胜须臾，感叹 “灵感”的伟大和神奇。Deift教授很高兴我 “猜” 出来了这个当时未知的户田晶格的微分方程的非线性循环解。

　　“猜”的方法在华尔街的投资交易中

　　拿到了应用数学博士之后，就随着20世纪90年代后期轰轰烈烈的“上街”运动进军美国的金融中心：华尔街。当时量化交易在华尔街刚刚兴起不久，方兴未艾。量化交易的特点就是要把人的主观想法，也可以说是“猜”，还有情绪彻底从投资决策的过程中清理掉。用数学、统计、概率论（当时AI人工智能还远没有达到现今的火热程度）来分析市场的变化，调整投资交易的结构和策略。一大批数学家、物理学家投身金融市场，信誓旦旦地要用数学来一统天下，替代人来交易（这和现在AI的旗号以及不久前比特币区块链的口号是不是非常相像？）。

　　经过了20多年华尔街的风风雨雨，特别是2000年的网络泡沫、2001年的911、2008年的全球金融风暴，让我认识到，当初这些单纯的理科生的想法太幼稚了，数学是无法面对由复杂多变的人所构成的金融市场而运筹帷幄的。

　　金融无论是股票市场的交易还是信用市场的买卖都时时刻刻地反映出人的一个让公理化的数学无法给出满意答案的本性：后悔，在信用债券市场的违约就是“后悔”的表现！渐渐地,我发现，伟大的投资家索罗斯所总结是交易市场的真谛：数学不能控制金融市场,而心理因素才是控制市场的关键。

　　既然是人的心理对于金融市场起着决定作用，而且，很容易理解的，没有人会告诉你他真实的心理活动。“猜”其他投资者的心理和想法就变得非常重要了。大家听说过的英国著名经济学家凯恩斯所提出的“选美理论”就是在金融市场中“猜”的方法的实际应用。

　　2017年诺贝尔经济学奖获得者，芝加哥大学行为经济学教授理查德·泰勒Richard Thaler在他的名著《Misbehaving》（中文译为 “错误的行为”） 中就以 “猜” 为主题举了一个发人深省的例子。

　　“猜一个从0到100的数字，尽可能地让这个数字接近其他所有人所想象的数字的平均值的2/3”。

　　这个例子非常有趣，它深刻地体现了思维的分层模式。最“笨”的第一层思维模式的人只能简单地接收解读表面的信息，既然是0到100之间的数字，那么大概率的可能就是“中间值”50。第二层思维模式的人，知道那些第一层思维模式的傻瓜一定会选50，那么他们更应该选50的2/3，即33.333作为答案；第三层思维模式的人知道第二层思维模式的人一定会选33.3333，那么，33.3333的2/3就应该是标准答案；第四层思维模式的人，通过推理分析，猜测，第三层模式的人一定会选22.2222，那么他们就应该选择14.8！以此类推。

　　在原书中，泰勒给出的最终的博弈论中纳什平衡的答案是0，因为每一高层级的思维方式所选的数字都要被2/3的权重所累，依次递减，到最后博弈稳定状态的只有最小的可选数字“0”。另外一个重要的方面就是要知道或者“猜”出来，在参与者中，第一层思维模式，第二层思维模式，第三层思维模式等等的人的比例，假设，有这两方面所有的信息，那么，最后的“完美”答案就是第n层思维模式的人所选择的数字和他们在全部参与者的比例的加权平均值！

　　Thaler在书中提到在1997年，他和金融时报FT一起搞了一次别开生面的 “猜平均数” 的大赛，面向所有的金融时报的读者，大家都知道，金融时报和华尔街日报代表了全球金融报纸的最高水平，它的读者大部分都是常青藤大学毕业的华尔街精英，聪明程度是首屈一指的。也就是说，在前面的分析中，第三层思维模式以上的人占比会非常大，最后的“猜测”的均值应该离数字0很接近。大赛揭晓的胜出的平均值数字是13，说明读者里还是有相当比例的“傻瓜”，推高了大众平均值的水平。

　　这个例子是对英国著名经济学家，同时也是行为经济学先驱的凯恩斯所提出的关于金融投资“选美理论”的一个社会实验。另一个凯恩斯提出来的关于“猜”应用于金融市场的理论就是所谓的“动物精神”，指大多数投资者（包括那些听起来侃侃而谈的宏观经济学家们）对于未来的市场变化一无所知，只能凭借自己的心情和感觉来“猜”，而并非经过传统经济学家们所说的冷静理性地思考，被感情，情绪等心理因素所左右，深陷其中。

　　疫情中发现的用“猜”的方法解高阶方程

　　时间快进到2020年，新冠病毒疫情期间，遵守政府颁布的居家隔离的防护措施，在家里和千千万万的民众一起同心抗疫情。不经意间，重新捡起了我的老本行：数学研究。好好地补习了一下平面几何中在正规课本中从没有教过的十几个稀奇古怪的定理，又做了几套奥林匹克数学竞赛题。其中遇到的一道解高阶方程的题目，让我重新体验了“啊哈”的灵光乍现的感觉。我发现了一个用“猜”的方法来解高阶方程的方法。不久后，又遇到一个类似的高阶方程的题目，我再次施展新发现的“猜”的方法，驾轻就熟，一蹴而就，不免有些洋洋自得，准备把发现的“猜”的方法写成论文来发表，让更多的同学们在科技信息化高速发展的今天，利用更多的科技手段来提高经典传统的数学的学习。这也是我最欣慰看到的。

　　21世纪，随着科技的进步和发展，学生们每人都使用电脑来完成学习任务，计算机成为每个学生不可缺少的学习伙伴。计算机，顾名思义可以帮助人类快速准确地完成重复性的实验和计算，但对于数学所依赖的逻辑思维还无法匹敌（这也是AI人工智能要挑战的领域）。在这里，我就介绍一下，所发现的利用计算机和Excel来快速地 “猜” 出解高阶方程的根，再利用得到的结果分解高次多项式因子的方法。

　　给定方程：2∛（2x-1）=x^3+1

　　我们把方程展开变为：x^9+3x^6+3x^3-16x+9=0

　　观察原来的初始方程，可以看出，x=1是一个解。

　　现在，我利用计算机和Excel，来“猜”一下这个高阶方程的实数根。第一轮比较粗放的检索，发现有一个实数根在-1.6和-1.7之间，见下图，第一列为自变量x的数值，第二列为给定的9次多项式函数的值。

　　-1.20 26.81417

　　-1.30 27.08493

　　-1.40 25.09556

　　-1.50 18.60352

　　-1.60 3.924171

　　-1.70 -24.7142

　　-1.80 -76.0186

　　-1.90 -162.727

　　再进行第二轮更为细致的搜索，对于-1.6的小数点后面几位不断试验，观察哪个取值使9次的多项式函数值趋近于0，得到-1.618034。

　　如果这个9次高阶方程，除了1之外还有其他的实数根，那么根据对称原理，这种实数根必定是成对出现的。因为给定的9次方程的首项系数为一，那么，不失一般性，可以假设有这样的分解因子：x^2+Ax+B。根据一元二次方程的求根公式：这样的一对根具有形式（C±√D）/2；C和D为整数，来自于原来多项式的各项系数。

　　那么，我们就来“猜”一下，哪个整数D可以使最后的小数表示是0.618. 一个简单的办法就是试错：√（3 ） √5 √7 √11 等等，对照一下便知。对于我来说，相对简单一些，因为，当我看到结尾的0.618时，我就“猜”到结果了。0.618是著名的“黄金比例”的近似值，在数学、物理、社会、建筑以及人类的审美方面都起到了深刻的影响作用。

　　而黄金比例的精确值是（-1+√5）/2,很容易，就可以得出（-1-√5）/2应该是方程的一个实根。在Excel里把这个有根号表达式的计算结果作为自变量x的数值代入方程式，BOOM!, 是对的。那么，马上就得到另一个对称的实数根就是黄金比例本身，多么美妙的数学！

　　原来的9次多项式可以分解为

　　x^9+3x^6+3x^3-16x+9=（x-1）（x^2-x+1）（x^6+2x^4+2x^3+4x^2+2x+9）

　　余下的六次多项式的表达式为非负的多项式，因此，只有三对复数根！

　　不断实验和“猜”在找到第一个不等于1的实根的过程中起了决定性的作用。计算机从科技创新的角度引导古老经典的数学焕发出新的生命力。

　　另外一道是加拿大数学竞赛题：x^2+x^2/〖（1+x）〗^2 =3

　　也用同样的实验和“猜”的方式快速地把它解出来。记 F（x）= x^2+x^2/〖（1+x）〗^2 ；经过简单的计算：F（1）=1.25；F（2）=4 4/9>3； 那么，在区间（1,2）中必定有一个实数解。用Excel做简单的逼近发现1.618是近似的根。

　　再把（1+√5）/2的数值代入表达式，在Excel里证实F（（1+√5）/2）=3。那么另一个对称的实根就是（1-√5）/2。

　　把原来的方程写为标准的多项式的形式：x^4+2x^3-x^2-6x-3=（x^2-x-1）（x^2+3x+3）； x^2+3x+3 有复数根（-3+√3 i）/2，（-3-√3 i）/2。

　　下面的题出自于杜克数学大会（DMM） ：x^4-3x^3+3x+1=0

　　通过简单地测试，可以看出在（1,2）里有一个实根，在Excel里细细搜寻，很巧，又到了我们无比熟悉的区域1.6附近，果断地代入黄金比例和它的孪生兄弟，证实两个都是这个方程的实根，因为方程左面的表达式必可被（x^2-x-1）分解，遂得到：

　　x^4-3x^3+3x+1=（x^2-x-1）（x^2-2x-1）

　　这个方法利用计算机和Excel来发现事实，经过反复的实践试错，从观察到的现象“猜”出深层的答案。当然，这背后有着严谨的分析论证做基础，排除了众多的不可能性，为最后认知的“跳跃”做好了准备和铺垫。

　　结束语

　　在科学的圣殿中，就像我亲身经历的一样，“猜”是一种非常重要的方法，特别是当面对一个完全未知的问题的时候，唯一的选择就是要勇敢果断幸运地“猜”出未来的正确的答案。

　　每个人走出象牙塔，进入令人眼花缭乱的真实世界的围城，整个人生就像是开启了一场“猜”的游戏。无论是在社会、工作、学习、生活中，还是在投资市场上，信息不对称性的问题无处不在，“猜”就很自然地成为人生中的一部分：猜猜公司老板的想法，对自己的意见；猜猜谈判桌上的交易对手的真实底牌，猜猜老师在期末考试里会出什么样的难题，猜猜太太今年过生日喜欢什么礼物，猜猜追的精彩电视连续剧的结局，猜猜今年年底能不能晋升，不一而足。

　　当具有完备的信息时，决策是建立在对于所有可能出现场景的科学分析，风险评估之上。当所需的信息不完备的时候，人们就要开动自己的大脑“猜”出最好的可能的答案。

　　不可否认的，“猜”面临着含有巨大的运气成分，就是数学中的随机性，那是人类无法控制和掌握的，但也正是这令人捉摸不定的随机性让我们的生活变得更加精彩和意想不到。

　　人生唯一确定的就是不确定性是永远存在，那么就让我们调整心态，不是躲闪或噤若寒蝉，而是主动拥抱不确定性，拥有更多的“反脆弱性”，让整个人生更加精彩纷呈。